7.ÁNGULOS EN EL ESPACIO

El ángulo entre una línea y un plano se define como el ángulo entre la línea y su proyección ortogonal sobre el plano. Al ángulo entre dos planos se le define como el ángulo entre dos líneas dibujadas en los planos (una línea en cada plano) desde un punto común en la arista y perpendicular a la arista común.

ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

Dadas una recta y un plano, puede ocurrir que la recta esté contenida en el plano, sea paralela o incidente. En el caso de que esté contenida o sea paralela el ángulo es nulo. Cuando es incidente la recta forma un ángulo α como el que se muestra en la imagen, también se puede observar que el vector director de la recta forma otro ángulo β con el vector normal del plano.
$\fs2Cos(\beta)=\fs3\|\frac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{v}|}\|\;\Rightarrow\;\beta=ArcCos\|\frac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{v}|}\|\;\Rightarrow\;\alpha=90-\beta$

Otra forma de verlo es teniendo en cuenta que los ángulos α y β son complementarios, es decir, α+β = 90º, luego el Cos(β)=Sen(α).

$\fs2Sen(\alpha)=\fs3\|\frac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{v}|}\|\;\Rightarrow\;\alpha=ArcSen\|\frac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{v}|}\|$

Determina el ángulo que forman $\fs2r\equiv\left{-5x-y+2z+1\;=\;0\\-8x-2y+3z+3\;=\;0$ $\fs2\pi\equiv-x-y+z-2\;=\;0$

Vamos a determinar el vector director de la recta, el normal del plano y usando la fórmula explicanda anteriormente realizamos el cálculo

$\fs2\vec{v}=(1,-1,2)\;y\;\vec{n}=(-1,-1,1)$
$\fs2\vec{n}\cdot\vec{v}\;=\;n_1\cdot\;v_1\;+\;n_2\cdot\;v_2\;+\;n_3\cdot\;v_3\;\Rightarrow\;\vec{n}\cdot\vec{v}=2$

$\fs2|n|\;=\;\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}\simeq1.73\;y\;|v|\;=\;\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\simeq2.45$

$Sen(\alpha)=\|\frac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{v}|}\|=\;\|\frac{2}{1.73\cdot2.45}\|\;=\;0.47\;\Rightarrow\;ArcSen(\alpha)=28.13^o$

Halla el ángulo que forman la recta $r\equiv\left{x=4-6\lambda\\y=2\\z=2+2\lambda$ y el plano $\pi\equiv\left{x=-1+2\mu\\y=1-4\lambda-4\mu\\z=-4+4\lambda+8\mu$ .

Nota: Expresa el ángulo en grados y lo redondeas a dos cifras decimales, para ello debes arrastrar más decimales en el redondeo de los módulos porque de lo contrario aumenta mucho el error

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