4.INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO.

1. INTERÉS SIMPLE.

Es el interés o beneficio que se obtiene de una inversión de una empresa que vende y bien puede ser financiera y de capital cuando los intereses (los cuales pueden ser altos o bajos, dependiendo del problema planteado) producidos durante cada periodo de tiempo que dura la inversión se deben únicamente al capital inicial, ya que los beneficios o intereses se retiran al vencimiento de cada uno de los periodos. Los periodos de tiempo pueden ser años, trimestres, meses, semanas, días o cualquier duración. O sea el interés se aplica a la cantidad inicial, los intereses no se agregan al capital productivo.

El interes simple es normalmente utilizado para problemas de proporcionalidad al igual que el interes compuesto ya que se utiliza para hacer cantidades exactas y proporcionales lo cual es de gran utilidad para gráficas ya sea de barras lineales ETC.

Su fórmula está dada por:

${\displaystyle I_{S}={\frac {Crt}{100}}}$ si t está en años.¹​

${\displaystyle I_{S}={\frac {Crt}{1200}}}$ si t está en meses.

${\displaystyle I_{S}={\frac {Crt}{36000}}}$ si t está en días.

Donde:

• ${\displaystyle I_{S}}$ es el interés simple obtenido del capital.
• ${\displaystyle C}$ es el capital invertido.
• ${\displaystyle r}$ es el rédito, o porcentaje de interés anual.
• ${\displaystyle t}$ es el número de periodos temporales.

De esta primera fórmula se obtienen las siguientes, despejado las variables capital, tasa de interés y periodos temporales:

• ${\displaystyle \ C={\frac {I_{s}\cdot 100}{rt}}}$
• ${\displaystyle \ r={\frac {I_{s}\cdot 100}{Ct}}}$
• ${\displaystyle \ t={\frac {I_{s}\cdot 100}{Cr}}}$

Problemas de interés simple.

1. ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €?

Soluciones:

2. Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52 500 €. Calcular el tanto por ciento de interés.

Soluciones:

360 + 120 + 20 = 500 días

I = 52 500 − 45 000 = 7 500 €

3. Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado.

Soluciones:

I = C

2.INTERÉS COMPUESTO.

El interés compuesto representa la acumulación de intereses que se han generado en un período determinado por un capital inicial (C_I) o principal a una tasa de interés (r) durante (n) periodos de imposición, de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan. Es aquel interés que se cobra por un crédito y al ser liquidado se acumula al capital (Capitalización el interés), por lo que en la siguiente liquidación de intereses, el interés anterior forma parte del capital o base del cálculo del nuevo interés.

Cálculo del interés compuesto

Para un período de tiempo determinado, el capital final (C_F) se calcula mediante la fórmula (expresión)fórmula

${\displaystyle \ C_{F}=C_{I}(1+r)^{n}}$

Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo periodo

${\displaystyle \ C_{F2}=C_{F1}(1+r)=C_{I}(1+r)(1+r)=C_{I}(1+r)^{2}}$

Repitiendo esto para un tercer período.

${\displaystyle \ C_{F3}=C_{F2}(1+r)=C_{I}(1+r)^{2}\cdot (1+r)=C_{I}(1+r)^{3}}$

${\displaystyle \ C_{F1}=C_{I}(1+r)}$

Capital al final del enésimo período

Donde:

${\displaystyle \ C_{F}}$ es el capital al final del enésimo período

${\displaystyle \ C_{I}}$ es el capital inicial

${\displaystyle \ r}$ es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)

${\displaystyle \ n}$ es el número de períodos

Para calcular la tasa de interés compuesto total se usa la fórmula:

${\displaystyle \ r_{T}=(1+r)^{n}-1}$

Donde:

${\displaystyle \ r_{T}}$ es la tasa de interés total expresada en tanto por uno (v.g., 1,85 = 185 %)

${\displaystyle \ r}$ es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)

${\displaystyle \ n}$ es el número de períodos

Para hacer cálculos continuos en el tiempo en lugar de calcular cantidades para finales de períodos puede usarse la tasa de interés instantánea ${\displaystyle \rho }$, así el capital final actualizado al tiempo t viene dado por:

${\displaystyle \ C_{F}(t)=e^{\rho t}}$

El resto de tasas pueden calcularse

Obtención de los elementos de la fórmula de interés compuesto[editar]

De la ecuación del interés compuesto, para n períodos, se obtiene el capital inicial, conocidos el capital final, el interés y el número de períodos:

${\displaystyle \ C_{I}={\frac {C_{F}}{(1+r)^{n}}}}$

El número de períodos puede calcularse, conocidos los capitales inicial y final y el interés, despejando n en la última fórmula, obteniéndose:

${\displaystyle \ n={\frac {\log(C_{F}/C_{I})}{\log(1+r)}}}$

El interés puede calcularse, conocidos los capitales inicial y final y el número de períodos, despejándolo de esa misma fórmula:

${\displaystyle r=\left({\frac {C_{F}}{C_{I}}}\right)^{\frac {1}{n}}-1={\sqrt[{n}]{\frac {C_{F}}{C_{I}}}}-1}$,

El interés compuesto representa el costo del dinero , beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t) , en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan , produciendo un capital final (C f ) .

Para un período determinado sería

Capital final (C f ) = capital inicial (C) más los intereses.

Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo:

Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).

Año	Depósito inicial	Interés	Saldo final
0 (inicio)	$1.000.000	($1.000.000 x 10% = ) $100.000	$1.100.000
1	$1.100.000	($1.100.000 × 10% = ) $110.000	$1.210.000
2	$1.210.000	($1.210.000× 10% = ) $121.000	$1.331.000
3	$1.331.000	($1.331.000 × 10% = ) $133.100	$1.464.100
4	$1.464.100	($1.464.100 × 10% = ) $146.410	$1.610.510
5	$1.610.510

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final.

Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general:

En inversiones a interés compuesto, el capital final (C f ) , que se obtiene a partir de un capital inicial (C) , a una tasa de interés (i) , en un tiempo (t) , está dado por la fórmula:

Recordemos que i se expresa en forma decimal ya que corresponde a  .
Y donde t corresponde al número de años durante los cuales se mantiene el depósito o se paga una deuda.

Como corolario a esta fórmula:

A partir de ella, puesto que el interés compuesto final (I) es la diferencia entre el capital final y el inicial, podríamos calcular la tasa de interés (i) :

Sacamos factor común  C:

También podemos calcular la tasa de interés despejando en la fórmula de C f :

En los problemas de interés compuesto i y t deben expresarse en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes períodos de tiempo.

Periodos de interés compuesto

El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser semestral, trimestral, al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual debería informarse!

Así, si la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante t años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc.,  solo hay que convertir éstos a años.

Por ejemplo, si i se expresa en tasa anual y su aplicación como interés compuesto se valida en forma mensual , en ese caso i  debe dividirse por 12 . En seguida, la potencia t (el número de años) debe multiplicarse por 12 para mantener la unidad mensual de tiempo (12 meses por el número de años).

Si los periodos de conversión son semestrales, i se divide por 2 ya que el año tiene dos semestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a semestres), por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia t (el número de años) por 2 (el número de semestres de un año):

Suponiendo una tasa anual de 10%, hacemos del siguiente modo:

 será igual a

Si los periodos de conversión son trimestrales, i se divide por 4 ya que el año tiene 4 trimestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a trimestres) por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia t (el número de años) por 4 (el número de trimestres que hay en un año).

Del siguiente modo:

 será igual a

En  general, en todos los casos donde haya que convertir a semestres, trimestres, meses, o días se multiplica por n semestres, trimestres, meses o días el 100 de la fórmula  que es igual a .   La potencia t (en número de años) se debe multiplicar por el mismo valor  de n , en cada caso, así, suponiendo una tasa anual de 10%:

 será igual a

Ver: PSU: Matemática, Pregunta 35_2010 

problemas de interés compuesto.

1. Calcular el valor final de un capital de $ 20.000 a interés compuesto durante 15 meses y 15 días a la tasa de interés del 24% capitalizable mensualmente.

Solución:

Primera forma:

C = 20.000
n = 15 meses, 15 días = 15,5 meses
i = 0,24 anual = 0,24/12 mensual
S = ?

Segunda forma:

Calcular el monto de interés compuesto por los 15 meses.

Calcular el monto a interés simple por los 15 días.

C = 26.917,36
i = 0,24/360 diario